Structure of a generalized class of weights satisfy weighted reverse Hölder’s inequality

Journal of Inequalities and Applications

Research

M. Zakarya¹  Ghada AlNemer²  H. M. Rezk³  S. H. Saker⁴ 

[1] College of Science, Department of Mathematics, King Khalid University, P.O. Box 9004, 61413, Abha, Saudi Arabia;Department of Mathematics, Faculty of Science, Al-Azhar University, 71524, Assiut, Egypt;Department of Mathematical Science, College of Science, Princess Nourah bint Abdulrahman University, P.O. Box 84428, 11671, Riyadh, Saudi Arabia;Department of Mathematics, Faculty of Science, Al-Azhar University, 11884, Nasr City, Egypt;Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura, Egypt;Department of Mathematics, Faculty of Science, New Mansoura University, New Mansoura City, Egypt;

关键词: Power mean operators;    Discrete Muchenhoupt’s class;    Discrete Gehring’s class;    Reverse Hölder’s inequality;    Self-improving properties;    40D05;    40D25;    42C10;    43A55;    46A35;    46B15;   

DOI  :  10.1186/s13660-023-02963-9

 received in 2022-03-10, accepted in 2023-03-09,  发布年份 2023

来源: Springer

【 摘 要 】

In this paper, we will prove some fundamental properties of the power mean operator Mpg(t)=(1ϒ(t)∫0tλ(s)gp(s)ds)1/p,for t∈I⊆R+,\documentclass[12pt]{minimal}\usepackage{amsmath}\usepackage{wasysym}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{upgreek}\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}\begin{document}$$ \mathcal{M}_{p}g(t)= \biggl( \frac{1}{\Upsilon(t)} \int _{0}^{t} \lambda (s)g^{p} ( s ) \,ds \biggr) ^{1/p},\quad\text{for }t\in \mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}_{+}, $$\end{document}of order p and establish some lower and upper bounds of the compositions of operators of different powers, where g, λ are a nonnegative real valued functions defined on I\documentclass[12pt]{minimal}\usepackage{amsmath}\usepackage{wasysym}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{upgreek}\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}\begin{document}$\mathbb{I}$\end{document} and ϒ(t)=∫0tλ(s)ds\documentclass[12pt]{minimal}\usepackage{amsmath}\usepackage{wasysym}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{upgreek}\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}\begin{document}$\Upsilon(t)=\int _{0}^{t}\lambda ( s ) \,ds$\end{document}. Next, we will study the structure of the generalized class Upq(B)\documentclass[12pt]{minimal}\usepackage{amsmath}\usepackage{wasysym}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{upgreek}\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}\begin{document}$\mathcal{U}_{p}^{q}(B)$\end{document} of weights that satisfy the reverse Hölder inequality Mqu≤BMpu,\documentclass[12pt]{minimal}\usepackage{amsmath}\usepackage{wasysym}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{upgreek}\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}\begin{document}$$ \mathcal{M}_{q}u\leq B\mathcal{M}_{p}u, $$\end{document}for some p1\documentclass[12pt]{minimal}\usepackage{amsmath}\usepackage{wasysym}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{upgreek}\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}\begin{document}$B>1$\end{document} is a constant. For applications, we will prove some self-improving properties of weights in the class Upq(B)\documentclass[12pt]{minimal}\usepackage{amsmath}\usepackage{wasysym}\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{upgreek}\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}\begin{document}$\mathcal{U}_{p}^{q}(B)$\end{document} and derive the self improving properties of the weighted Muckenhoupt and Gehring classes.

【 授权许可】

CC BY   
© The Author(s) 2023

【 图 表 】

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