大数据分析驱动下的图像复原

数学所讲座2015

授课人:沈佐伟

机构:新加坡国立大学

机构:中国科学院数学与系统科学研究院

关键词: 逼近;    小波;    噪影;    函数空间;   

中国|中文

【 摘 要 】

我们正生活在大数据分析处理时代。对烟波浩淼的数据进行分析处理，从中寻找、发现、解释、提炼出对于人类生存有益的信息资源，以不断改善人类的日常生活，是摆在我们面前的一项极其复杂、颇具挑战性的任务。现实中，每一天我们收集起来的各种数据繁杂到超出我们的直觉想象。尽管如此，我们依旧期望从中得取所需。很难想象人们可以对这些复杂的数据给出简单的刻画以至于可以仅仅通过求解几个数学方程式就能解决现实生活中的实际问题。但是，我们可以退而求其次：以各种各样具有广泛实用性的数学模型来粗略（未必那么精确）地逼近我们所寻求的答案。众所周知，图像是最有用也是应用最为广泛的数据。在这个讲座中，我们将概略回顾一下小波理论、稀疏逼近理论以及它们在图像处理和压缩感知领域中的应用；我们将侧重讨论如何从数据分析的角度以小波框架（更一般的带有冗余信息的系统）来解决图像复原问题。这里有两个问题。第一个问题就是在初始阶段我们该怎样应用当前已有的与具体问题的解相关联的知识来设计合适的具有一定逼近水平的模型？第二个问题就是我们能否应用从初始逼近解以及初始逼近过程中收集的信息以及从中得到的知识来改进现有模型以期得到较高水平的逼近从而求得比较准确一些的解？也就是问，我们该怎样在一个螺旋式过程中采用积极驾驭大数据驱动之车的方式来求解复杂的现实问题？我们将看到一个比较好的用于逼近一个函数（包括图像）的系统完全既可以捕捉本函数的全局样式也可以挖拙出它的局部特点。一个小波框架就是这样系统的一种比较好的例子。我们将演示怎样依据事先具备的关于图像的一般知识在小波框架下设计出图像复原的有效算法；进一步地，我们会解释如何应用给定图像的特殊信息来有效改进现有模型和算法；最后，我们将揭示，在图像复原问题上，小波框架模型与微分方程模型之间的内在联系。通过这些讨论，我们期望展示在图像复原这样的应用数学中本来存在着的深层的内涵；更期待，在分析源自实际生活中的复杂数据的复杂进程中，这能够对新的求解想法产生激励。

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